Рівняння дотичної до графіка функції. Монотонність функції

Дотичною до графіка функції F(x) у точці з абсцисою х₀ називається граничне положення січної до графіка даної функції, що проходить через дві точки графіка, одна з яких має абсцису х₀, якщо різниця абсцис цих точок прямує до нуля.

Зверніть увагу! Дотична до графіка функції має з даним графіком одну спільну точку лише в деякому околі точки дотику і може перетинати графік поза границями цього околу.

Якщо функція є диференційованою в деякій точці, то похідна функції в цій точці дорівнює кутовому коефіцієнтові дотичної в цій точці до графіка функції, тобто тангенсу куту нахилу дотичної в цій точці.

Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то дотична до графіка заданої функції в цій точці паралельна осі абсцис.

Рівняння дотичної до графіка функції F(x) у точці з абсцисою х₀ має такий вигляд: у = f(x₀) + f'(x₀)∙(х – х₀).

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції F(x) у точці з абсцисою х₀, необхідно:

- знайти значення функції в заданій точці;

- знайти похідну функції;

- знайти значення похідної в заданій точці;

- знайти добуток похідної функції в точці і різниці аргументу функції та абсциси заданої точки;

- записати рівняння, ліва частина якого містить залежну змінну у, а права – суму знайденого добутку і значення функції в заданій точці.

Проміжки, на яких функція лише спадає або лише зростає, називаються проміжками монотонності функції.

У проміжках знакосталості похідної функції функція є монотонною.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції дорівнює нулю, то функція є сталою на цьому проміжку.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває додатних значень, то функція зростає на цьому проміжку.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває від’ємних значень, то функція спадає на цьому проміжку.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває недодатних значень, то функція незростаюча на цьому проміжку.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває невід’ємних значень, то функція неспадна на цьому проміжку.

Для функції, яка визначена на даному замкненому проміжку і не є такою, що постійно коливається, кожна точка проміжку (разом із кінцями) є кінцем і початком проміжків монотонності або сталості функції.