Дослідження функції і побудова її графіка

Щоб побудувати графік заданої функції, треба спочатку дослідити поведінку функції, визначити особливості її графіка.

Досліджуйте функцію за такою схемою:

1. Знайдіть область визначення функції.

2. Дослідіть функцію на парність або непарність (якщо функція парна, можна побудувати її графік у правій координатній півплощині і відобразити симетрично відносно осі ординат у ліву півплощину; якщо функція непарна, то треба відобразити симетрично відносно початку координат);

3. Знайдіть точки перетину графіка функції з віссю абсцис. Для цього розв’яжіть рівняння, в лівій частині якого задана функція, а в правій – нуль.

4. Знайдіть точки розриву функції.

5. Знайденими точками розбийте область визначення функції на проміжки і визначте знаки функції на кожному з проміжків.

6. Визначте поведінку функції навколо точок розриву і на нескінченності та знайдіть асимптоти графіка функції.

7. Знайдіть похідну функції і дослідіть її на монотонність.

8. Знайдіть точки екстремуму функції.

9. Дослідіть функцію на точки перегину (для уточнення поведінки, якщо це потрібно).

10. Складіть таблицю значень функції та її похідних.

11. Побудуйте ескіз графіка функції, враховуючи проведене дослідження.

Зверніть увагу! Поняття максимуму і мінімуму функції мають локальний характер, тобто в околі окремої точки. Значення функції в цій точці порівнюється зі значеннями функції в усіх достатньо близьких точках. Тому який-небудь максимум функції може бути меншим від якого-небудь мінімуму функції, якщо розглядаємо функцію на області визначення.

Похідну функції застосовують для доведення нерівностей. При цьому враховують такі твердження:

- Якщо в деякій точці А значення заданої функції дорівнює нулю і похідна цієї функції додатна на додатному промені з початком у точці А, при цьому функція неперервна в цій точці, то задана функція додатна на цьому промені.

- Якщо в деякій точці А значення заданої функції дорівнює нулю і похідна цієї функції від’ємна на додатному промені з початком у точці А, при цьому функція неперервна в цій точці, то задана функція від’ємна на цьому промені.