Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника і трапеції, її властивості

Для середніх ліній трикутника і трапеції справджується теорема, яку довів Фалес Мілетський, тому тепер вона носить його ім'я.

Теорема Фалеса

Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій його стороні.

Або: паралельні прямі, що перетинають дві дані прямі й відтинають на одній прямій рівні відрізки, відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.

Зверніть увагу!

За цим принципом поділяють відрізок на скільки завгодно рівних відрізків. З одного кінця заданого відрізка проводять промінь, на якому відкладають необхідну кількість рівних відрізків певної довжини, після чого через кінець останнього з відкладених відрізків і другий кінець заданого відрізка проводять пряму, паралельно якій проводять прямі через поділки на промені. Точки перетину цих прямих із заданим відрізком поділяють його на необхідну кількість рівних відрізків.

Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Властивість бісектриси трикутника

Бісектриса трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні відповідним іншим сторонам трикутника.

Середня лінія трикутника — відрізок, що з'єднує середини двох його сторін. У кожного трикутника три середні лінії.

Середня лінія трикутника, що з'єднує середини двох даних сторін, паралельна третій стороні й дорівнює її половині.

Ця властивість середньої лінії трикутника дозволяє довести такі властивості геометричних фігур:

Якщо з’єднати відрізками середини сторін трикутника, то одержимо трикутник, периметр якого вдвічі менший за периметр даного трикутника.

Якщо з’єднати відрізками середини сторін чотирикутника, то одержимо паралелограм.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці і нею діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини трикутника.

Середня лінія трапеції — відрізок, що з'єднує середини бічних ліній.

Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їхній півсумі.

Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то висота трапеції дорівнює її середній лінії.