Правила диференціювання функцій. Похідна у фізиці і техніці
Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами:
- Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків.
- Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника.
- Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.
Зверніть увагу! Множник, що є константою (постійною величиною), можна виносити за символ похідної.
Похідна добутку константи і функції дорівнює добутку константи на похідну функції.
Похідна добутку трьох функцій дорівнює сумі трьох доданків, кожний із яких є добутком двох із даних функцій на похідну третьої функції.
- Похідна частки двох функцій дорівнює дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а чисельник – різниці між добутком дільника на похідну діленого і добутку, поділеного на похідну дільника.
Запам’ятайте! Похідною дробу, в чисельнику якого деяка функція, а в знаменнику константа, є дріб, у чисельнику якого похідна чисельника, а в знаменнику та ж сама константа.
Похідною дробу, в чисельнику якого константа, а в знаменнику деяка функція, є дріб, у чисельнику якого протилежна константа, помножена на похідну знаменника заданого дробу, а в знаменнику — квадрат знаменника заданого дробу.
- Похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції, помноженій на похідну внутрішньої функції, тобто похідна складеної функції дорівнює добутку похідних від функцій, що її становлять.
Наприклад, якщо задана функція у = sin2x, то внутрішньою функцією є тригонометрична функція синус х, а зовнішньою —степенева функція квадрат синуса х, тому похідною заданої функції буде добуток степененевої функції і тригонометричної функції, а саме 2 sin x cos x.
Похідні функцій знаходять своє застосування у фізиці і техніці.
Запам’ятайте! Швидкість руху тіла є похідною відстані як функції часу.
Прискорення руху тіла є похідна швидкості або друга похідна відстані як функцій часу.
Кутова швидкість руху є похідною кута як функції часу. Кутове прискорення є похідною кутової швидкості або другою похідною кута як функцій часу.
Лінійна густина стержня є похідною його маси як функції довжини стержня.
Сила струму є похідною кількості електричного заряду як функції часу.
Теплоємність є похідною кількості тепла як функції часу.