Властивості визначеного інтеграла. Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ фігур. Застосування визначеного інтеграла для обчислення об’ємів тіл. Застосування визначеного інтеграла в фізиці і техніці

Якщо нижня і верхня границі функції співпадають, то інтеграл дорівнює нулю.

Якщо в інтеграла поміняти місцями нижню і верхню границі інтегрування, то значення інтеграла зміниться на протилежне.

Щоб обчислити визначений інтеграл від функції зі сталим множником, можна сталий множник винести за знак інтеграла.

Визначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів з тими ж границями інтегрування від кожного доданка.

Визначений інтеграл від заданої функції з границями інтегрування, що є протилежними числами, дорівнює:

- якщо функція непарна, то нулю;

- якщо функція парна, то подвоєному інтегралу від тієї ж функції, але від нуля до заданої верхньої границі інтегрування.

Якщо фігура, площу якої треба знайти, обмежена графіками функцій f(x) (обмежує зверху) і g(x) (обмежує знизу), то для обчислення площі такої фігури треба обчислити інтеграл від різниці цих функцій на заданому проміжку.

Якщо криволінійна трапеція обмежена зверху різними функціями, то площа криволінійної трапеції дорівнює сумі площ криволінійних трапецій, обмежених зверху кожною з цих функцій.

Якщо фігура розміщена у від’ємній півплощині відносно осі абсцис, то її площу можна знайти як модуль визначеного відповідного інтеграла.

Для обчислення площ фігур, обмежених графіками заданих функцій, використовуємо таку схему:

- Побудувати фігуру, площу якої треба знайти в координатній площині;

- Знайти абсциси точок перетину графіків заданих функцій.

- Скласти й обчислити інтеграл від різниці верхньої і нижньої функцій із границями інтегрування, які дорівнюють абсцисам точок перетину графіків функцій.

Зверніть увагу! Нижньою границею інтегрування треба брати лівий кінець відрізка, на якому визначається криволінійна трапеція.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної невід’ємної функції, дорівнює визначеному інтегралу квадрата функції, помноженого на константу π.

Робота змінної сили вздовж осі абсцис на заданому проміжку дорівнює визначеному інтегралу від функції сили.

Шлях, що проходить тіло зі змінною швидкістю за проміжок часу, дорівнює інтегралу від функції швидкості.

Маса стержня із змінною густиною з заданою довжиною дорівнює визначеному інтегралу від функції густини.