Невизначений інтеграл

Множина всіх первісних заданої функції на заданому проміжку називається невизначеним інтегралом. Функція називається підінтегральною функцією, аргумент функції називається змінною інтегрування.

Дія знаходження невизначеного інтеграла називається невизначеним інтегруванням. Невизначене інтегрування є дією, оберненою до диференціювання.

За допомогою диференціювання ми за даною функцією знаходимо її похідну, а за допомогою невизначеного інтегрування ми за даною похідною функції знаходимо первісну функції.

Інтеграл від суми певного скінченого числа функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій.

Сталий множник підінтегральної функції можна винести за знак інтеграла.

Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

Фігура, яка обмежена віссю абсцис, графіком заданої неперервної на проміжку [a;b] функції, що набуває на цьому проміжку лише невід’ємних значень, і вертикальними прямими, що проходять через кінці проміжка, називається криволінійною трапецією. Якщо F(x) – первісна заданої функції, то площа цієї криволінійної трапеції дорівнює приросту первісних функції на заданому проміжку, тобто різниці значень первісної в правому кінці проміжку і лівому кінці проміжку.

Якщо поділити заданий проміжок точками на рівні проміжки, провести через точки поділу вертикальні прямі, то задана криволінійна трапеція розіб’ється на криволінійні трапеції, які будуть мало відрізнятися від прямокутників, коли кількість частин, на які розбито заданий проміжок, прямує до нескінченності.

З теорії площ знаємо, що:

Площа фігури, складеної з декількох фігур, дорівнює сумі площ цих фігур. Площа прямокутника дорівнює добутку його вимірів.

Сума площ прямокутників, на які розіб’ється криволінійна трапеція, називається інтегральною сумою.

Визначеним інтегралом заданої функції від а до b називається число, до якого прямує інтегральна сума, коли кількість частин, на які розбито заданий проміжок, прямує до нескінченності.

Записується «інтеграл від А до Бе еф від ікс де ікс», де а – нижня границя інтегрування, b – верхня границя інтегрування, F(x) – підінтегральна функція, ікс – змінна інтегрування.

Якщо задана функція неперервна і невід’ємна на деякому проміжку, то інтеграл з границями інтегрування, що є кінцями цього проміжку, чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Інтеграл з границями інтегрування, що є кінцями деякого проміжку, від заданої функції чисельно дорівнює різниці первісних цієї функції у верхній і нижній границях інтегрування.