Границя функції. Застосування границь функції. Неперервність функцій

Число А називається границею деякої функції F(x), коли аргумент прямує до х₀ (ікс нульового), якщо для всіх точок х, відмінних від х₀, що містяться в досить малому дельта-околі точки х₀ значення функції F(x) містяться в як завгодно малому епсілон-околі точки А.

Якщо границі функцій F(x) і G(x) при х, що прямує до х₀ існують і є скінченними, то виконуються правила:

- границя суми цих функцій дорівнює сумі їх границь;

- границя різниці цих функцій дорівнює різниці їх границь;

- границя добутку цих функцій дорівнює добутку їх границь;

- границя відношення цих функцій дорівнює відношенню їх границь, якщо границя дільника відмінна від нуля.

Для того щоб знайти границю елементарної функції, коли аргумент прямує до значення, що належить області визначення функції, треба замість аргумента в вираз підставити граничне значення аргументу. Це правило називається правилом граничного переходу.

Запам’ятайте деякі важливі границі:

- Границя частки одиниці і х дорівнює нулю, якщо х прямує до нескінченності.

- Границя частки синуса х і х дорівнює одиниці, якщо х пярмує до нуля.

Границі функції застосовують для знаходження асимптот графіка функції:

Пряма х = А є вертикальною асимптотою, якщо границя цієї функції дорівнює нескінченності при аргументі, що прямує до А.

Пряма у = В є горизонтальною асимптотою, якщо границя цієї функції дорівнює числу В при аргументі, що прямує до нескінченності.

Пряма y = kx + b є похилою асимптотою, якщо границя відношення функції до її аргументу дорівнює числу k при аргументі, що прямує до нескінченності і якщо границя різниці функції і kx дорівнює числу b при аргументі, що прямує до нескінченності.

Функція називається неперервною в деякій точці, якщо ця функція визначена в якому-небудь околі даної точки, і якщо границя приросту функції дорівнює нулю, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Сума скінченного числа функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.

Різниця скінченного числа функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.

Добуток скінченного числа функцій, неперервних в деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці.

Відношення двох функцій, неперервних у деякій точці, є функцією, неперервною в цій точці, якщо дільник не дорівнює нулю.